С точки зрения классической механики масса тела не зависит от его движения. Если масса покоящегося тела равна m 0 , то и для движущегося тела эта масса останется точно такой же. Теория относительности показывает, что в действительности это не так. Масса тела т , движущегося со скоростью v, выражается через массу покоя следующим образом:
m = m 0 / √(1 - v 2 /c 2) (5)
Отметим сразу же, что скорость, фигурирующая в формуле (5), может быть измерена в любой инерциальной системе. В разных инерциальных системах тело имеет разную скорость, в разных инерциальных системах у него будет также и разная масса.
Масса — такая же относительная величина, как скорость, время, расстояние. Нельзя говорить о величине массы, пока не будет фиксирована система отсчета, в которой мы изучаем тело.
Из сказанного ясно, что, описывая тело, нельзя просто сказать, что его масса такая-то. Например, предложение «масса шарика 10 г» с точки зрения теории относительности совершенно неопределенно. Численное значение массы шарика ничего еще не говорит нам до тех пор, пока не будет указана инерциальная система, по отношению к которой измерена эта масса. Обычно масса тела задается в инерциальной системе, связанной с самим телом, т. е. задается масса покоя.
В табл. 6 приведена зависимость массы тела от его скорости. При этом предполагается, что масса покоящегося тела составляет 1 а. Скорости меньше 6000 км/сек
в таблице не приводятся, так как при таких скоростях отличие массы от массы покоя ничтожно мало. При больших же скоростях эта разница становится уже заметной. Чем больше скорость тела, тем больше его масса. Так, например, при движении со скоростью 299 700 км/сек
масса тела увеличивается уже почти в 41 раз. При больших скоростях даже ничтожное увеличение скорости значительно увеличивает массу тела. Это особенно заметно на рис. 41, где графически изображена зависимость массы от скорости.
Рис. 41. Зависимость массы от скорости (масса покоя тела равна 1 г)
В классической механике изучаются только медленные движения, для которых масса тела совершенно незначительно отличается от массы покоя. При изучении медленных движений массу тела можем считать равной массе покоя. Ошибка, которую мы при этом совершаем, практически незаметна.
Если скорость движения тела приближается к скорости света, то масса при этом растет неограниченно или, как говорят, масса тела становится бесконечной. Только в одном единственном случае тело может приобрести скорость, равную скорости света.
Из формулы (5) видно, что в том случае, если тело будет двигаться со скоростью света, т. е. если v
= с
и √(1 - v 2 /c 2), то должна быть равна нулю и величина m 0 .
Если бы этого не было, то формула (5) потеряла бы всякий смысл, так как деление конечного числа на нуль — недопустимая операция. Конечное число, деленное на нуль, равняется бесконечности — результат, который не имеет определенного физического смысла. Однако мы можем осмыслить выражение «нуль, деленный на нуль». Отсюда и следует, что в точности со скоростью света могут двигаться только объекты, у которых масса покоя равняется нулю. Телами в обычном понимании такие объекты называть нельзя.
Равенство массы покоя нулю означает, что тело с такой массой вообще не может покоиться, а должно всегда двигаться со скоростью с. Объект с нулевой массой покоя, то свет, точнее говоря, фотоны (кванты света). Фотоны никогда и ни в одной инерциальной системе не могут покоиться, они всегда движутся со скоростью с. Тела с массой покоя, отличной от нуля, могут находиться в покое или двигаться с различными скоростями, но с меньшими скоростями света. Скорости света они никогда не могут достигнуть.
В опыте по измерению массы электрона с помощью масс-спектрографа на фотопластинке обнаруживается только одна полоска. Так как заряд каждого электрона равен одному элементарному заряду, мы приходим к заключению, что все электроны обладают одной и той же массой.
Масса, однако, оказывается непостоянной. Она растет при увеличении разности потенциалов , ускоряющей электроны в масс-спектрографе (рис. 351), Так как кинетическая энергия электрона прямо пропорциональна ускоряющей разности потенциалов , то отсюда следует, что масса электрона растет с его кинетической энергией. Опыты приводят к следующей зависимости массы от энергии:
, (199.1)
где
- масса электрона, обладающего кинетической энергией
,
- постоянная величина,
- скорость света в вакууме
. Из формулы (199.1) вытекает, что масса покоящегося электрона (т. е. электрона с кинетической энергией
) равна
. Величина
получила поэтому название массы покоя электрона.
Измерения с различными источниками электронов (газовый разряд, термоэлектронная эмиссия, фотоэлектронная эмиссия и др.) приводят к совпадающим значениям массы покоя электрона. Масса эта оказывается крайне малой:
Таким образом, электрон (покоящийся или медленно движущийся) почти в две тысячи раз легче атома легчайшего вещества - водорода.
Величина
в формуле (199.1) представляет собой добавочную массу электрона, обусловленную его движением. Пока эта добавка мала, можно при вычислении кинетической энергии приближенно заменить
на
, и положить
. Тогда
отсюда видно, что наше предположение о малости добавочной массы по сравнению с массой покоя
равносильно условию, что скорость электрона много меньше скорости света
. Напротив, когда скорость электрона приближается к скорости света, добавочная масса становится большой.
Альберт Эйнштейн (1879-1955) в теории относительности (1905 г.) теоретически обосновал соотношение (199.1). Он доказал, что оно применимо не только к электронам, но и к любым частицам или телам без исключения, причем под нужно понимать массу покоя рассматриваемой частицы или тела. Выводы Эйнштейна были проверены в дальнейшем в разнообразных опытах и полностью подтвердились. Теоретическая формула Эйнштейна, выражающая зависимость массы от скорости, имеет вид
(199.2)
Таким образом, масса любого тела возрастает при увеличении его кинетической энергии или скорости. Однако, как и для электрона, добавочная масса, обусловленная движением, заметна только тогда, когда скорость движения приближается к скорости света. Сравнивая выражения (199.1) и (199.2), получим формулу для кинетической энергии движущегося тела, учитывающую зависимость массы от скорости:
(199.3)
В релятивистской механике, (т. е. механике, основанной на теории относительности) так же как и в классической, импульс тела определяется как произведение его массы на скорость. Однако теперь масса сама зависит от скорости (см. (196.2)}, и релятивистское выражение для импульса имеет вид
(199.4)
В механике Ньютона масса тела считается величиной постоянной, не зависящей от его движения. Это означает, что ньютонова механика (точнее, 2-й закон Ньютона) применима только к движениям тел со скоростями очень малыми по сравнению со скоростью света. Скорость света колоссальна; при движении земных или небесных тел всегда выполняется условие , и масса тела практически неотличима от его массы покоя. Выражения для кинетической энергии и импульса (199.3) и (199.4) при переходят в соответствующие формулы для классической механики (см. упражнение 11 в конце главы).
Ввиду этого при рассмотрении движения таких тел можно и нужно пользоваться механикой Ньютона.
Иначе обстоит дело в мире мельчайших частиц вещества - электронов, атомов. Здесь нередко приходится сталкиваться с быстрыми движениями, когда скорость частицы уже не мала по сравнению со скоростью света. В этих случаях механика Ньютона неприменима и нужно пользоваться более точной, но и более сложной механикой Эйнштейна; зависимость массы частицы от ее скорости (энергии) - один из важных выводов этой новой механики.
Другим характерным выводом релятивистской механики Эйнштейна является заключение о невозможности движения тел со скоростью, большей скорости света в вакууме. Скорость света является предельной скоростью движения тел.
Существование предельной скорости движения тел можно рассматривать как следствие возрастания массы со скоростью: чем больше скорость, тем тяжелее тело и тем труднее дальнейшее увеличение скорости (так как ускорение уменьшается с увеличением массы).
С новыми пространственно-временными представлениями не согласуются при больших скоростях движения законы механики Ньютона. Лишь при малых скоростях движения, когда справедливы клас-г сические представления о пространстве и времени, второй закон Ньютона не меняет своей формы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой (выполняется принцип относительности). Но при больших скоростях движения этот закон в своей обычной (классической) форме несправедлив. Согласно второму закону Ньютона (9.4) постоянная сила, действуя на тело продолжительное время, может сообщить телу сколь угодно большую скорость. Но в действительности скорость света в вакууме является предельной, и ни при каких условиях тело не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Требуется совсем небольшое изменение уравнения движения тел, чтобы это уравнение было верным при больших скоростях движения. Предварительно перейдем к той форме записи второго закона динамики, которой пользовался сам Ньютон: АР - В At где р =mv - импульс тела. В этом уравнении масса тела считалась независимой от скорости. Поразительно, что и при больших скоростях движения уравнение (9.5) не меняет своей формы. Изменения касаются лишь массы. При увеличении скорости тела его масса не остается постоянной; она тоже увеличивается. Зависимость массы от скорости можно найти, исходя из предположения, что закон сохранения импульса справедлив и при новых представлениях о пространстве и времени. Расчеты слишком сложны. Приведем лишь конечный результат. Если через т0 обозначить массу покоящегося тела, то масса т того же тела, но двигающегося со скоростью v, определяется формулой1 На рисунке 227 представлена зависимость массы тела от его скорости. Из рисунка видно, что возрастание массы тем больше, чем ближе скорость движения тела к скорости света с. При скоростях движения, много меньших скорости света, выражение 2 чрезвычайно мало отличается от единицы. Так, при скорости современной космической ракеты 10 км/с получаем Неудивительно поэтому, что заметить увеличение массы с ростом ско- В современной теоретической физике существует тенденция называть массой только массу покоя т0, а понятие релятивистской массы (9.6) не вводить. рости при таких сравнительно небольших скоростях движения невозможно. Но элементарные частицы в современных ускорителях заряженных частиц достигают огромных скоростей. Если скорость частицы всего лишь на 90 км/с меньше скорости света, то ее масса увеличивается в 40 раз. Мощные ускорители для электронов способны разгонять эти частицы до скоростей, которые меньше скорости света лишь на 35-50 м/с. При этом масса электрона возрастает примерно в 2000 раз. Чтобы такой электрон удерживался на круговой орбите, на него со стороны магнитного поля должна действовать сила, в 2000 раз большая, чем можно было бы предполагать, не учитывая зависимость массы от скорости. Для расчета траекторий быстрых частиц пользоваться механикой Ньютона уже нельзя. С учетом соотношения (9.6) импульс тела равен: (9.7) m0v Р = Основной же закон релятивистской динамики записывается в прежней форме: ЬР -р At Однако импульс тела здесь определяется формулой (9.7), а не просто произведением m0v. Таким образом, масса, считавшаяся со времен Ньютона неизменной, в действительности зависит от скорости. По мере увеличения скорости движения масса тела, определяющая его инертные свойства, увеличивается. При v-*c масса тела в соответствии с уравнением (9.6) возрастает неограниченно (/л- поэтому ускорение стремится к нулю и скорость практически перестает возрастать, как бы долго ни действовала сила. Необходимость пользоваться релятивистским уравнением движения при расчете ускорителей заряженных частиц означает, что теория относительности в наше время стала инженерной наукой. Принцип соответствия. Законы динамики Ньютона и классические представления о пространстве и времени можно рассматривать как частный случай релятивистских законов, справедливых при скоростях движения, много меньших скорости света. Это проявление так называемого принципа соответствия, согласно которому любая теория, претендующая на более глубокое описание явлений и на более широкую сферу применимости, чем старая, должна включать последнюю как предельный случай. Принцип соответствия впервые был сформулирован Нильсом Бором применительно к связи квантовой и классической теорий. Великий ученый раньше всех понял суть дела. Релятивистское уравнение движения, учитывающее зависимость массы от скорости, применяется при конструировании ускорителей элементарных частиц и других релятивистских приборов. 1. Запишите формулу зависимости массы тела от скорости его движения. 2. При каком условии можно массу тела считать не зависящей от скорости!
Основные идеи и заключения теории относительности были пояснены в § 5 и 6. Обычно считается, что более подробное пояснение релятивистских эффектов выходит за рамки общего курса физики. Однако вследствие значения, которое некоторые релятивистские эффекты имеют в ядерной физике, и познавательного интереса всех выводов теории относительности полезно рассмотреть связь релятивистских эффектов с законом пропорциональности массы и энергии. При этом обнаруживается, что очень многие релятивистские эффекты могут быть выведены из закона пропорциональности массы и энергии (в сочетании с другими законами сохранения) и к тому же могут быть выведены совершенно элементарно, что для некоторых из них недостижимо при обычном изложении теории относительности.
Такой вывод релятивистских эффектов дан ниже (§ 79 и 81-84)
Согласно закону только очень большим величинам энергии соответствует заметная масса. В связи с этим только для очень больших скоростей и больших значений потенциальной энергии проявляются отступления от формул классической механики и электродинамики. Релятивистские эффекты, в сущности, и представляют собой соотношения, уточняющие формулы классической механики и электродинамики для движений со скоростями порядка скорости света и для весьма больших значений потенциальной энергии, например для значений гравитационного потенциала, соизмеримых с величиной квадрата скорости света.
Вывод зависимости массы от скорости и формул для кинетической энергии из закона При увеличении скорости движения какого-либо тела или частицы масса этого тела или частицы возрастает на величину прироста кинетической энергии, отнесенного к квадрату скорости света. Этим объясняется зависимость массы электрона от скорости, установленная экспериментально и определяемая уравнением Лорентца - Эйнштейна (т. II, § 77).
Действительно, пусть частица с массой находящаяся под действием силы получает на пути вследствие ускорения приращение кинетической энергии
По закону пропорциональности массы и энергии прирост кинетической энергии должен повлечь за собой пропорциональное увеличение массы частицы:
Сопоставляя эти два уравнения для получаем:
Замечая, что в обеих частях уравнения мы имеем дифференциал натурального логарифма, интегрируем уравнение от до и соответственно от до получается уравнение Лорентца-Эйнштейна, обобщенное на любую частицу (независимо от того, несет ли частица электрический заряд или является нейтральной):
Принимая во внимание зависимость массы от скорости, нетрудно убедиться в том, что обычное выражение кинетической энергии должно быть заменено более точным
Действительно, если есть масса покоящейся частицы или масса той же частицы или тела при скорости то согласно формуле (1)
Из уравнения (5) если возвести обе его части в квадрат, имеем
следовательно,
Подставляя выражение в формулу и заменяя отношение из (5), получаем (6).
При малых скоростях движения (когда уточненная формула для кинетической энергии (6) совпадает с обычным выражением кинетической энергии Якин При скоростях движения, приближающихся к скорости света, кинетическая энергия стремится к величине гдет - масса движущейся частицы, возрастающая при увеличении скорости согласно формуле (5). Достижение предела возможно только для частиц, не обладающих массой покоя т. е. для фотонов, энергия движения которых согласно (6) И в полном соответствии с законом оказывается равной
Чем ближе скорость движения к скорости света, тем быстрее происходит возрастание массы. В помещенной ниже таблице приведены отношения прироста массы к массе покоя для скоростей, близких к скорости света, и значения кинетической энергии электрона и протона, выраженные в миллионах электроновольт.
Зависимость прироста массы и кинетической энергии электрона и протона от скорости (при скоростях, близких к скорости света)
считая, что масса частицы m (v ) есть некоторая функция ее скорости, которую нам предстоит определить исходя из предположения, что импульс частицы - сохраняющаяся величина.
Рассмотрим для этого неупругое столкновение двух одинаковых тел одно из которых покоится (в некоторой лабораторной системе отсчета K ), а другое движется к нему со скоростью v . После столкновения тела слипаются и продолжают движение вместе с некоторой скоростью u , которую нам надо найти.
Закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направления движения (которое мы выбираем качестве оси x ) в лабораторной системе гласит
В этой системе первая частица покоится, а вторая налетает на нее со скоростью –v . В результате образующаяся составная частица движется со скоростью –u (так как процесс симметрично выглядит в этой системе по сравнению с системой K ). Применяя теперь закон сложения скоростей, мы можем связать u и v . Для этого в формулу
Относительно скорости u это есть квадратное уравнение. Выбирая из двух корней тот корень, который соответствует скорости, меньшей скорости света, получим
В этой системе отсчета, если мы развернем картинку и снова сделаем ось x горизонтальной, столкновение тел будет выглядеть так, как показано на рис 5.
Для определения компонент скоростей тел до и после столкновения в системе K "" воспользуемся формулами преобразования скоростей
Аналогичным образом, поскольку
Запишем теперь закон сохранения импульса в системе K "" в проекции на ось x
Это равенство должно выполняться при любом V , в том числе и при V = 0
Разрешая это уравнение относительно m (v ), приходим к соотношению
Таким образом, мы приходим к уже известному нам выражению для массы тела, зависящей от его скорости
 | (43) |
Попутно мы доказали, что если сохраняется импульс (во всех инерциальных системах отсчета), то сохраняется и масса (зависящая от скорости), или, что то же самое, энергия, равная произведению массы тела на квадрат скорости света.
Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна
Важнейший результат специальной теории относительности относится к понятию массы. В дорелятивистской физике было два закона сохранения: закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Оба этих фундаментальных закона считались совершенно независимыми друг от друга. Теория относительности объединила их в один. Так, если тело, движущееся со скоростью v и получающее энергию E 0 в форме излучения 3 без изменения своей скорости, увеличивает при этом свою энергию на величину
Следовательно, тело обладает такой же энергией, как и тело, движущееся со скоростью v и имеющее массу покоя m 0 +E 0 /c 2 . Таким образом, можно сказать, что если тело получает энергию E 0 , то его масса покоя увеличивается на величину E 0 /c 2 . Так, например, нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, и, если бы в нашем распоряжении были бы очень точные весы, мы бы убедились в этом непосредственно с помощью взвешивания.
Однако в нерелятивистской физике изменения энергии E 0 , которые мы могли сообщить телу, были, как правило, недостаточно велики, чтобы можно было заметить изменения инертной массы тела. Величина E 0 /c 2 в нашей обыденной жизни слишком мала по сравнению с массой покоя m 0 , которую имело тело до изменения энергии. Этим обстоятельством объясняется тот факт, что закон сохранения массы так долго имел в физике самостоятельное значение.
Совершенно по-другому обстоит дело в релятивистской физике. Хорошо известно, что с помощью ускорителей мы можем сообщить телам (элементарным частицам) огромную энергию, достаточную для рождения новых (элементарных) частиц - процесс, который наблюдается сейчас сплошь и рядом на современных ускорителях элементарных частиц. Формула Эйнштейна "работает" в ядерных реакторах атомных электростанций, где энергия высвобождается за счет процесса деления ядер тяжелых элементов. Масса конечных продуктов реакции меньше массы исходного вещества. Эта разница масс, деленная на квадрат скорости света, и представляет собой полезную высвобожденную энергию. Подобным же образом нас обеспечивает теплом и наше Солнце, где за счет реакции термоядерного синтеза водород превращается в гелий и выделяется огромное количество энергии.
Сейчас можно считать твердо установленным, что инертная масса тела определяется количеством запасенной в теле энергии. Эту энергию сполна можно получить в процессе аннигиляции вещества с антивеществом, например, электрона с позитроном. В результате такой реакции образуются два гамма-кванта - фотона очень большой энергии. Этот источник энергии, возможно, будет использоваться в будущем в фотонных двигателях ракет для достижения ими субсветовых скоростей при полетах к далеким галактикам.
1 Поскольку при x << 1
 |
2 Когда такие отклонения обнаруживаются, то в конце концов оказывается, что это либо ошибка, либо, если выясняется, что ошибки нет, это приводит к открытию новых элементарных частиц. Наиболее яркий пример такого рода - это открытие нейтрино.
3 Здесь E 0 - полученная телом энергия при наблюдении из системы координат, движущейся вместе с телом.
ЛЕКЦИЯ 6
· Связь энергии и импульса в релятивистской механике.
· Эффект Доплера. Момент импульса.
· Распад частиц. Звездные реакции с превращением энергии.
· Комптон эффект. Антипротонный порог.
Загрузка...